Równania Lorentza-Maxwella
pola elektromagnetycznego

Do opisu zjawisk elektromagnetycznych zachodzących w przyrodzie, zgodnie z teorią Maxwella, stosujemy wektorowe pola, elektryczne $ \mbox{$\mathbf{e}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ i pole indukcji magnetycznej $ \mbox{$\mathbf{b}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ , które spełniają poniższy układ równań różniczkowych:
    $\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$$\displaystyle \cdot$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{e}$}$$\displaystyle (t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ) = 4\pi{\rho}_{at}(t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ),$ (7.3.1)
    $\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$$\displaystyle \cdot$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{b}$}$$\displaystyle (t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ) = 0 \;,$ (7.3.2)
    $\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$$\displaystyle \times$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{e}$}$$\displaystyle (t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ) =
-\frac{1}{c}\frac{\partial\mbox{$\mathbf{b}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} \:,$ (7.3.3)
    $\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$$\displaystyle \times$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{b}$}$$\displaystyle (t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ) =
\frac{4\pi}{c}{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$...
...{1}{c}\frac{\partial\mbox{$\mathbf{e}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} \:.$ (7.3.4)

Równania w formie (7.3.1)-(7.3.4) odnoszą się do pól w skali atomowej, o których to polach możemy myśleć, że są średnimi odpowiednich pól kwantowych. Widać, że wiążą one między sobą pole elektryczne $ \mbox{$\mathbf{e}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ z polem indukcji magnetycznej $ \mbox{$\mathbf{b}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ , a także ze źródłami tych pól które zadane są zadane gęstościami ładunku elektrycznego $ {\rho}_{at}(t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ i strumienia prądu elektrycznego $ {\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})$ . Pomimo licznych eksperymentów nie udało się odkryć monopoli magnetycznych, dlatego łamiemy symetrię między polami $ \mbox{$\mathbf{e}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ i $ \mbox{$\mathbf{b}$}$$ (t,$$ \mbox{$\mathbf{r}$}$$ )$ , i pole magnetyczne jako spełniające równanie (7.3.2), staje się polem bezżródłowym; dalsze tego konsekwencje obserwujemy w równaniu (7.3.3), w którym nie występują prądy magnetyczne rozumiane jako strumienie monopoli magnetycznych. Prostym rachunkiem, można z równań Maxwella (7.3.1)-(7.3.4) wyprowadzić równanie ciągłości

$\displaystyle \frac{\partial{\rho}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} + \...
...$\mathbf{\nabla}$}\cdot{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$}) =0 \:.$ (7.3.5)

Aby się o tym przekonać, należy skorzystać z pierwszego równania Maxwella (7.3.1) a następnie z równania (7.3.4), co nam daje

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\partial{\rho}_{at}(t,\...
...box{$\mathbf{b}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})\right] = 0
\end{array}\end{displaymath}

Jeśli scałkujemy równanie (7.3.5) po objętości $ V$ otoczonej powierzchnią $ \partial V$ , a następnie skorzystamy z twierdzenia Gaussa, otrzymamy

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{V}d^{3}r {\rho}_{at}(t,$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$$\displaystyle ) + \int\limits_{\partial V}d$$\displaystyle \mbox{$\mathbf{s}$}$$\displaystyle \cdot{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})=0 \:,$ (7.3.6)

Ten ostatni wynik (7.3.6) pokazuje, że w istocie rzeczy, równanie ciągłości (7.3.5) jest konsekwencją zasady zachowania ładunku.
2012-02-03