Równania Maxwella

Równania Lorentza-Maxwella
pola elektromagnetycznego

Do opisu zjawisk elektromagnetycznych zachodzących w przyrodzie, zgodnie z teorią Maxwella, stosujemy wektorowe pola, elektryczne $\mbox{$\mathbf{e}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ i pole indukcji magnetycznej $\mbox{$\mathbf{b}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ , które spełniają poniższy układ równań różniczkowych:

		$\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$ $\displaystyle \cdot$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{e}$}$ $\displaystyle (t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ) = 4\pi{\rho}_{at}(t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ),$	(7.3.1)
		$\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$ $\displaystyle \cdot$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{b}$}$ $\displaystyle (t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ) = 0 \;,$	(7.3.2)
		$\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$ $\displaystyle \times$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{e}$}$ $\displaystyle (t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ) = -\frac{1}{c}\frac{\partial\mbox{$\mathbf{b}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} \:,$	(7.3.3)
		$\displaystyle \mbox{$\mathbf{\nabla}$}$ $\displaystyle \times$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{b}$}$ $\displaystyle (t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ) = \frac{4\pi}{c}{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$... ...{1}{c}\frac{\partial\mbox{$\mathbf{e}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} \:.$	(7.3.4)

Równania w formie (7.3.1)-(7.3.4) odnoszą się do pól w skali atomowej, o których to polach możemy myśleć, że są średnimi odpowiednich pól kwantowych. Widać, że wiążą one między sobą pole elektryczne $\mbox{$\mathbf{e}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ z polem indukcji magnetycznej $\mbox{$\mathbf{b}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ , a także ze źródłami tych pól które zadane są zadane gęstościami ładunku elektrycznego ${\rho}_{at}(t,$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ i strumienia prądu elektrycznego ${\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})$ . Pomimo licznych eksperymentów nie udało się odkryć monopoli magnetycznych, dlatego łamiemy symetrię między polami $\mbox{$\mathbf{e}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ i $\mbox{$\mathbf{b}$}$ $\mbox{$\mathbf{r}$}$ , i pole magnetyczne jako spełniające równanie (7.3.2), staje się polem bezżródłowym; dalsze tego konsekwencje obserwujemy w równaniu (7.3.3), w którym nie występują prądy magnetyczne rozumiane jako strumienie monopoli magnetycznych. Prostym rachunkiem, można z równań Maxwella (7.3.1)-(7.3.4) wyprowadzić równanie ciągłości

$\displaystyle \frac{\partial{\rho}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})}{\partial t} + \... ...$\mathbf{\nabla}$}\cdot{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$}) =0 \:.$

(7.3.5)

Aby się o tym przekonać, należy skorzystać z pierwszego równania Maxwella (7.3.1) a następnie z równania (7.3.4), co nam daje

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial{\rho}_{at}(t,\... ...box{$\mathbf{b}$}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})\right] = 0 \end{array}\end{displaymath}$

Jeśli scałkujemy równanie (7.3.5) po objętości otoczonej powierzchnią $\partial V$ , a następnie skorzystamy z twierdzenia Gaussa, otrzymamy

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{V}d^{3}r {\rho}_{at}(t,$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{r}$}$ $\displaystyle ) + \int\limits_{\partial V}d$ $\displaystyle \mbox{$\mathbf{s}$}$ $\displaystyle \cdot{\mbox{$\mathbf{j}$}}_{at}(t,\mbox{$\mathbf{r}$})=0 \:,$

(7.3.6)

Ten ostatni wynik (7.3.6) pokazuje, że w istocie rzeczy, równanie ciągłości (7.3.5) jest konsekwencją zasady zachowania ładunku.

2012-02-03